2.2　多元经验模态分解与数据重构

2.2.1　MEMD方法原理

标准EMD方法仅适用于分解一元信号，但现实中研究的数据已经趋于多元化，对于多元化数据EMD并不适用（李成、周恒，2013）。Rehman和Mandic（2010）针对多元信号处理提出了多元经验模态分解的方法，通过同步分解多元序列信号，获得与各序列相应的多个分量，并可以将固有模态函数分量在尺度和数量上进行匹配，最终解决了多元信号的分解问题。具体分解步骤如下：

设定一个n维向量组为原始n元序列，序列长度为T，在（n-1）维球面上用表示对应角度的方向向量集。若要在多维球面上建立K个方向向量，则k=1，2，…，K。基于上述定义，MEMD按照如下步骤进行分解：

（1）基于信号序列采样法，在（n-1）维球面上获得适宜的n维空间的方向向量。

（2）计算各个输入信号V（t）在每个方向向量Xθk上的映射Pθk。

（3）标出各个方向向量的映射信号极大值和极小值分别对应的时刻。

（4）运用样条插值函数对各个信号极值点[t_iθk，v（t_iθk）]进行插值，得到K个多元包络。

（5）计算空间K个方向向量的n元均值：。

（6）按照h（t）=v（t）-m（t）获取固有模态函数h（t），如果h（t）可以满足多元IMF判断条件，那么就将v（t）-h（t）结果作为第（2）步的输入信号，继续通过步骤（2）至步骤（6），获取新的多元IMF分量h（t）；否则，将h（t）当作第（2）步输入信号，继续执行步骤（2）至步骤（6）。经过一系列的MEMD分解过程，和EMD算法类似，原始n元序列被分解为一系列IMF分量和残差r（t）的加和形式，如式（2-4）所示。

其中,h_i（t）={h_i,1（t）,h_i,2（t）,h_i,3（t）,…,h_i,n（t）},r_n（t）={r_n,1（t）,r_n,2（t）,r_n,3（t）,…,r_n,n（t）},分别对应n元序列的n组IMF分量和n个余量，q表示IMF的个数。n元序列每一元变量对应的IMF在n个通道中按尺度对齐，形成多元IMF。

相对于EMD方法，MEMD的优点在于：①不存在模式上的混叠。MEMD方法可以将EMD分解过程中很难识别的微弱噪声经过多方向的投影充分地分解出来，可以解决EMD模式混叠问题。②尺度对齐效应。由于MEMD方法中多个时间序列同时联合分解，对各个序列以相同标准进行分解，故各分量分解得到的IMF数量相同，尺度大小依次对应，意义明确。基于以上优点，MEMD非常适用于分解金融市场中包含大量噪声的多元时间序列。

2.2.2　基于MEMD的多元序列数据重构

将MEMD分解得到的各个序列的IMF，按下列步骤进行重构，得到原序列的高、低频分量（李合龙等，2014）：

（1）计算各个序列IMF的均值。

（2）对各个IMF进行均值不为0的t检验，设定显著性水平为5%。

（3）直至IMF首次出现均值异于0，则在此IMF（不含本IMF）之前的IMF分量之和构成高频序列，剩下的IMF之和构成低频序列，r_n（t）为趋势序列。