3.2.3 直流电机的数学模型

直流电机的数学模型比较简单，可由电枢绕组的等效电路和励磁绕组的等效电路来进行表示。如图3-11所示，电枢绕组等效电路为直流电源（电压U）、电阻（大小为线圈的直流电阻）、理想电机（即无电阻电机）和导线组成的一个串联回路。要建立直流电机的数学模型，首先需要知道直流电机电枢电动势和电磁转矩的表达式，然后根据基尔霍夫电压定律和牛顿定律列出电机主电路电压平衡方程式、励磁电路电压平衡方程式和转轴上转矩平衡方程式等基本方程式。

1.电枢电动势

电枢电动势是直流电机在正常工作时，电枢绕组切割气隙磁场所产生的电动势。根据直流电机的运行原理，可以推导出电枢电动势E_a为

式中，p为电机磁极对数；N为电枢绕组总的导体数；a为电枢绕组的支路对数；Φ为电机的每极磁通（Wb）；n为转速（r/min）；为电动势常数，仅与电机结构有关。

2.电磁转矩

电磁转矩是直流电机的电枢绕组流过电流时，载流导体在磁场中受力而产生的总转矩。根据直流电机的运行原理，可以推导出电磁转矩T_em为

式中，I_a为电枢电流；为转矩常数。

3.直流电机的基本方程

直流电机的基本方程式包括电压平衡方程、电磁转矩平衡方程和功率平衡方程。在列直流电机的基本方程之前，各有关物理量如电压、感应电动势、电流转矩等，都应事先规定好其参考方向。直流电机各参考量的方向是任意的，但一旦标定好后就不应当再改变，所有的方程均按参考方向的标定进行列写。图3-12所标定的参考方向称为电机惯例标注参考方向。

根据电机惯例，电机主电路电压平衡方程式如下：

励磁电路电压平衡方程式如下：

转轴上转矩平衡方程式如下：

式中，T₀为空载转矩；T₂是电机转轴上的输出机械转矩（即负载转矩）。

式（3-4）两端同时乘以I_a，可得功率平衡方程为

式中，P₁=UI_a为直流电源输入给电机的电功率；P_em=E_aI_a为电磁功率；为电枢回路铜损耗。

式（3-6）两端同时乘以机械角速度Ω，可得

即

式中，P_em为电磁功率；P₂为电机输出的机械功率；P₀为空载功率损耗。

P ₀又称为不变损耗，其在电机空载时就已经存在，且数值基本不变，主要由电机机械损耗P_mec（包括轴承、电刷摩擦损耗，定、转子空气摩擦损耗，通风损耗等）、铁心损耗P_Fe（主极磁通在转动的电枢铁心中交变，引起磁滞和涡流损耗）以及附加损耗P_ad组成。

综上，可得直流电机功率平衡方程为

式中，ΣP=P_mec+P_Fe+P_ad为总的损耗。

直流电机的效率可通过下式进行计算：

4.直流电机的机械特性

电机机械特性表征电机轴上所产生的电磁转矩T_em和相应的运行转速n之间的关系，以函数n=f（T_em）表示。

根据式（3-2）和式（3-4），可得直流电机的机械特性数学方程式为

式中，R_a为电枢绕组内电阻；R_c为电枢外接电阻；n₀=U/（C_eΦ）为理想空载转速；β=（R_a+R_c）/（C_eC_TΦ2）为机械特性斜率。