- 液压与气压传动(第2版)
- 姚林晓等主编
- 911字
- 2022-05-05 20:34:13
2.2.3 静止液体微分方程的应用
1.静止液体受力情况
已知静止的液体所受质量力只有重力,液面压力为p0,如图2-4所示,求静止液体的压力分布。
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_27_5.jpg?sign=1739628730-4JZj4Jn0a35UI3zsupfYh2bkL5mkTCcS-0-d95f0c7c50dd98ed5d473689203ea693)
图2-4 静止液体受力情况
将X=Y=0,Z=-g代入式(2-10)并整理,可得
dp=-ρgdz
对上式积分,可得
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_27_6.jpg?sign=1739628730-TJkTjRClvfytRDbMJu6fTEllr22vzOLv-0-5abcba364630865d529ad9ee29f99264)
当z=0时p=p0,可得C=p0,则有p=-ρgz+p0
将z=h代入上式,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_27_7.jpg?sign=1739628730-U2KtDDsy9WyrzALx4pS51jt6ctUEU59i-0-508aae2d4de032b19c3f234d414befce)
式(2-12)为在重力作用下静止液体内任一点上的压力分布规律。该压力分布规律具有如下特性:
(1)在重力作用下静止液体内任一点上的压力由两部分组成,p0为表面力引起的压力,ρgh为质量力产生的压力。
(2)在同一深度上各点压力相等。压力相等的面称为等压面。重力作用下静止液体的等压面为水平面。
(3)在液压传动技术中,由于ρgh<<p(p为液压系统的工作压力),因此在一般情况下不考虑位置对静压产生的影响。例如,当h=10m,g=9.81m/s2,ρ=900kg/m3时,ρgh=0.088MPa,液压系统压力p值比这个计算值大得多,因而质量力产生的压力可忽略不计。
2.作匀加速直线运动的容器中的液体受力情况
在图2-5所示的小车容器内装有液体,当小车加速时,液体向后移动,使液面呈倾斜面。将坐标系xOz建立在小车上,仍可用静止液体的平衡微分方程求解。但此时的坐标系为非惯性坐标系,液体所受的体积力除重力外还有惯性力。
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_28_1.jpg?sign=1739628730-RKO5ggBq2VqYB27BGevHbfAtycfVGzIo-0-8f8b1dbdf4bab4f26d5486f4f1ff78dd)
图2-5 液体作匀加速直线运动时的受力情况
1)压力分布
将X=a,Y=0,Z=-g代入式(2-9)得
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_28_2.jpg?sign=1739628730-SVXXsrkC9z05pxbQe9s4tPCzQHphEZdz-0-8b63b36280524c52fdc1fed35dda23ae)
整理后可得
dp=-ρadx-ρgdz
对上式进行积分,可得
p=-ρax-ρgz+C
当x=0,z=0时,可得C=p0,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_28_3.jpg?sign=1739628730-FAlvr3VGVgz2symjrwaJ01EQGIqUdICO-0-a6ec20a41be5a6ca63caa381569020ae)
2)等压面和自由液面
在液体中,压力相等的点所组成的面称为等压面,和大气接触的液面称为自由液面。
令式(2-13)的p=C1,则有
ax+gz=(p0-C1)/ρ=C2
由此可知,液体作匀加速直线运动时等压面为倾斜面,自由液面是p=p0时的倾斜等压面。
3.以等角速度旋转的容器中的液体受力情况
1)压力分布
如图2-6所示,一个圆柱形容器内装有液体,以等角速度ω绕着z轴旋转,其液面呈稳定的曲面。将坐标系建立在容器上,可用静力学平衡方程求解,但此时的坐标系属于非惯性坐标系,要引入惯性力,这时液体所受的体积力除重力外还有离心力。
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_28_4.jpg?sign=1739628730-A5ZeoVFsYSs5nk91qWNOtCcMo7LwiVF2-0-194d4937f155c6a3d156edec7bd250d9)
图2-6 以等角速度旋转的容器中的液体受力情况
将X=ω2x,Y=ω2y,Z=-g代入式(2-9)可得
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_29_1.jpg?sign=1739628730-fr2wyUC4CYEoFBlkWV2ky69gTNsnnbG1-0-3c87d5a6fc08e3d3f86d5562bf131e05)
整理上式,可得
dp=ρω2xdx+ρω2ydy-ρgdz
对上式进行积分,可得
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_29_2.jpg?sign=1739628730-WyZRL2PTWg1xr7bMowuhIEYnAdTX82KT-0-885a40120bd5fbe3cdbd8a5c34327015)
利用边界条件(当x=y=z=0时C=p0)则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/93EB21/23020648809756606/epubprivate/OEBPS/Images/37510_29_3.jpg?sign=1739628730-kfSoTxypJC6XCRKxIbiujBN34zqQUlVv-0-b96983cf9e401a902a9a3b697e2de87e)
2)等压面和自由液面
由式(2-14)可知,液体作等角速度旋转时的等压面和自由液面是回转抛物面。