3.5 多元积分学
多元函数有多重积分的概念，这里只介绍二重积分。定积分可用来求曲边梯形的面积，与此类似，二重积分可用来求曲顶柱体的体积。本节主要介绍二重积分的概念、计算方法等内容。
3.5.1 二重积分的概念
设函数
在闭区域
上有界，把闭区域
任意划分成
个可求面积的小闭区域
，其中，
表示第
个小闭区域，也表示它的面积。在每个
上任取一点
，作乘积
，并作和
。令
表示各小闭区域直径的最大值，若极限
存在，则称函数
在区域
上可积，并把极限值称为函数
在闭区域
上的二重积分，记为
，即
（3-7）
其中，
称为被积函数；
称为被积表达式；
称为面积元素；
和
称为积分变量；
称为积分区域。
3.5.2 二重积分的计算
在Python中，没有直接求解二重积分的函数命令，需要先将二重积分化为二次积分：
（3-8）
或者
（3-9）
然后用程序求解。
例3-16 计算
，其中，
为由
所围成的有界区域。
解：（1）绘制积分区域。
使用Python包SymPy中的solve函数求解方程组
（x为非负数）。具体程序如下：
输出结果如下：
从结果可知，两条线的交点为（1,1），而
与这两条线的交点为（0,2）和（1.414,2），使用Python包Matplotlib中的plot和fill_betweenx函数绘制积分区域。具体程序如下：
输出的积分区域如图3-8所示。
图3-8 输出的积分区域
（2）计算。
从图3-8可以看出，可将积分化为先对x积分再对y积分，可使用Python包SymPy中的integrate函数求解定积分。具体程序如下：
输出结果如下：
例3-17 计算
，其中，
为
表示的区域。
解：该二重积分在直角坐标系下没有解析解，但通过极坐标变换可以求解。具体程序如下：
输出结果如下：
因此，将原二重积分转化为
再使用Python包SymPy中的integrate函数求解定积分。完整程序如下：
输出结果如下：
