第3篇　级　数

第1部分　数项级数和反常积分

第9章　数项级数

9.1　复习笔记

一、上极限和下极限

1．定义

对于一个有界数列．去掉它的最初k项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确界为下确界为亦即

可见令k＝1，2，3，…，得到一列和一列数列单调减少，单调增加，所以这两个数列的极限都存在．称的极限是的上极限，设它是H．的极限是的下极限，设它是h．并分别将上极限和下极限记为即

由得h≤H．

2．重要性质

（1）设则

①当H有限时，对于H的任何ε邻域（H－ε，H＋ε），在数列中有无穷多个项属于这个邻域，而在

（H＋ε，＋∞）中最多只有有限多个项（包括一项也没有）（图9-1）；

图9-1

②当时，对任何数N＞0，在中必有无穷多个项大于N；

③当时，数列以为极限．

（2）设则

①当h为有限时，对h的任何ε邻域（h－ε，h＋ε），在数列中有无穷多个项属于这个邻域，而最多只有有限多个项小于h－ε（包括一项也没有）；

②当h＝－∞时，对任何数N＞0，在数列中有无穷多个项小于－N；

③当h＝＋∞时，数列的极限为＋∞．

（3）设H为的上极限，那么，在中必存在一个子列，其极限为H，并且H是中所有收敛子列的极限中的最大值．设h为的下极限，那么，在中必存在一个子列，其极限为h，并且h是中所有收敛子列的极限中的最小值．

（4）（A有限或无穷大）的充要条件为

二、级数的收敛性及其基本性质

1．定义

一系列无穷多个数写成和式就称为无穷级数，记为令

称为级数的n次部分和（简称部分和），称数列为级数的部分和数列．

若级数的部分和数列收敛于有限值S，即则称级数收敛，记为并称此值S为级数的和数．若部分和数列发散，则称级数发散．当级数收敛时，称

为级数的余和．

2．收敛级数性质

（1）若级数收敛，a为任一常数，则亦收敛，并且有

（2）若两个级数都收敛，则也收敛，并且有

（3）一个收敛级数对其项任意加括号后所成级数

仍收敛，且其和不变．

（4）（收敛的必要条件）若级数收敛，则，即收敛级数的一般项必趋于0．

3．柯西收敛原理

级数收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N，使得当n＞N时，对于任意的正整数

p＝1，2，3，…，都成立着

也可以表述为：对任意给定的正数ε，总存在N，使得对于任何两个大于N的正整数m及n（不妨假设n＜m），都成立

其中为级数的部分和．

三、正项级数

1．正项级数收敛的基本定理

如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛，如果正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到＋∞．

2．正项级数收敛的判别法

（1）比较判别法

若两个正项级数和，存在常数c＞0，使或者存在N，当n＞N时，成立以上关系式，则

①当级数收敛时，级数收敛；

②当级数发散时，级数发散．

（2）比较判别法的极限形式

给定两正项级数和，那么这两个级数同时收敛或同时发散．

（3）柯西判别法

设为正项级数．若存在N，当n＞N时，有（q为某确定的常数），则级数收敛．若存在N，当n＞N时，有则级数发散．

（4）柯西判别法的极限形式

对于正项级数，设那么，当r＜1时此级数必为收敛，当r＞1时此级数发散，而当r＝1时此级数的收敛性需进一步判定．

（5）达朗贝尔判别法

设为正项级数，若存在N，当n＞N时，有（q为确定的数），则级数收敛．若存在N，当n＞N时，有则级数发散．

（6）达朗贝尔判别法的极限形式

对于正项级数当时，级数收敛．当时，级

数发散，而当或者时，级数的敛散性需进一步判定．

（7）柯西积分判别法

对于正项级数，设为单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数f（x）（x＞0），使得当x等于正整数n时，其函数值恰为亦即那么，级数与数列这里同为收敛或同为发散．

四、任意项级数

1．绝对收敛和条件收敛

（1）定义

对于级数如果其每一项加上绝对值以后所组成的正项级数收敛，则称级数为绝对收敛．如果发散但却是收敛的，则称级数为条件收敛．

（2）绝对收敛和条件收敛的关系

绝对收敛级数必为条件收敛级数，但反之不然．

2．交错级数

（1）定义

称正负项相间的级数，也就是形如

的级数，其中，为交错级数．

（2）莱布尼茨定理

如果一个交错级数的项满足以下两个条件：

①

②

则①级数收敛；

②它的余和r_n的符号与余和第一项的符号相同，并且余和的绝对值不超过余和的第一项的绝对值

3．阿贝尔（Abel）判别法和狄利克雷判别法

（1）阿贝尔变换

考虑形如的级数．对下面的和数

阿贝尔给出了一个初等的变换．设

则

就是阿贝尔变换．

（2）阿贝尔引理

如果

①单调（增加或减少）；

②有界

则

（3）阿贝尔引理的推论

如果，那么

（4）阿贝尔判别法

如果

①级数收敛；

②数列{a_n}单调有界，

则级数收敛．

（5）狄利克雷判别法

如果

①级数的部分和B_n有界，

②数列{a_n}单调趋于零，

则级数收敛．

五、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质

1．绝对收敛级数和条件收敛级数的本质差别

对于级数，将它的所有正项保留而将负项换为零，组成一个级数，记为．将它的所有负项变号（乘上因子－1）而将正项换为零，也组成一个正项级数，记为，即

那么

（1）若级数绝对收敛，则级数和都收敛；

（2）若级数条件收敛，则级数和都发散．

2．绝对收敛级数的更序级数性质

绝对收敛级数的更序级数仍为绝对收敛，且其和相同其中，一个级数的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数．

3．黎曼定理

若级数条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何预先给定的数S（包括的情形）．

4．柯西定理

若级数和都绝对收敛，其和分别为U和V，则它们各项之积按照任何方法排列所构成的级数也绝对收敛，且其和为UV．

5．梅尔腾斯（Mertens）定理

若级数和中，仅有一个是绝对收敛，其和为A，另一个是条件收敛，其和为B，则它们的柯西乘积组成的级数仍收敛，其和为AB．

六、无穷乘积

1．定义

对于一个数列将这一列数连乘起来，用记号表示如下

，称为无穷乘积，如果将数列{p_n}中前n个数连乘起来，得到

称为部分乘积．令n＝1，2，3，…，就得到部分乘积的序列对于这个序列{p_n}，只可能有下面三种情形：

（1）存在非零的有限极限

（2）极限为零：

（3）发散，即不趋向任何有穷极限．

在第（1）种情形下，称无限乘积为收敛的，并称极限值P为这个乘积的值，记为

而在第（2），（3）种情形时称此无穷乘积为发散的．在一个无穷乘积中，只要有一个因数为零，那么就得部分乘积序列的极限P＝0．

2．收敛无穷乘积的性质

（1）若无穷乘积收敛，记

称它为余乘积，则

（2）收敛的必要条件

若无穷乘积收敛，则

（3）若无穷乘积收敛，那么，任意增加有限个异于零的项或者任意删去有限个项，而不改变其原有的次序，所得无穷乘积仍收敛．

3．无穷乘积收敛的判别法

（1）无穷乘积收敛的充要条件是级数收敛，并且当这一条件满足时，若L是级数的和数，那么有

（2）具有零值（即发散于零）的充要条件为

（3）无穷乘积的敛散性

令

①若对充分大的n，有

那么无穷乘积

收敛的充要条件为级数收敛．

②若发散，则具有零值．

③若级数

同时收敛，则无穷乘积收敛．

4．无穷乘积绝对收敛

对于无穷乘积，当级数绝对收敛时，称无穷乘积是绝对收敛的．并且绝对收敛乘积具有可交换性，而非绝对收敛乘积不具有可交换性．