2.2　课后习题详解

2.1　设粒子限制在矩形匣子中运动，即

求粒子的能量本征值和本征波函数，如a=b=c，讨论能级的简并度。

解：在匣子内

即其中采用直角坐标系，方程的解可以分离变量。

再考虑到边条件能量本征函数可表示为

再考虑到可以求出

粒子的能量本征值为

而归一化的能量本征函数为

对于方匣子a=b=c，

能级的简并度为满足条件的正整数解的个数。

【参阅：《量子力学》，卷Ⅱ，PP．420～421，练习2】

2.2　设粒子处于一维无限深方势阱中，

证明处于能量本征态的粒子，

讨论的情况，并与经典力学计算结果比较．

证明：设粒子处于第n个本征态，其本征函数为

在经典情况下，在区域（0，a）中粒子处于dx范围中的概率为，所以

当，量子力学的结果与经典力学计算值一致．

2.3　设粒子处于一维无限深方势阱中

处于基态（n=1，见2．2节式（12）），求粒子的动量分布．

解：基态波函数

测量粒子的动量的概率分布为。

【参阅：《量子力学》，卷I，PP．87～88，练习4和练习5】

2.4　设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为A为归一化常数，（a）求A；（b）求测得粒子处于能量本征态的概率特别是作图，比较与曲线．从来说明两条曲线非常相似，即几乎与基态完全相同，

解：（a）根据归一化条件

可得，所以

（b）用展开，，

只当n=1，3，5，…时，才不为0，特别是，非常接近于1．考虑到归一化条件，，可知概率几乎为0，即与概率几乎完全相同．

（c）

2.5　同上题，设粒子处于基态（n=1），．设t=0时刻阱宽突然变为2a，粒子波函数来不及改变，即

试问：对于加宽了的无限深方势阱

是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值的概率．

解：对于加宽了的无限深方势阱，能量本征值和能量本征态分别为

可见不再是它的能量本征态，．由于势阱突然变宽，粒子波函数和能量来不及改变，粒子能量仍保持为，而可以按展开，

经过计算可得

所以粒子处于，即能量仍为的概率为．

2.6　设粒子（能量E＞0）从左入射，碰到下图所示的势阱，求透射系数与反射系数．

答：考虑上图所示势阱中粒子，可证明粒子碰到侧壁的透射系数为

其中

反射系数为

其中

不难验证概率守恒关系式

【参见《量子力学》卷I，108页，有详细解答．】

2.7　利用Hermite多项式的递推关系（附录A3，式（13）），证明谐振子波函数满足下列关系：

并由此证明，在态下

证明：已知

所以

利用本征函数的正交性，可得．

同样，利用本征函数的正交归一性，可得

2.8　同上题，利用Hermite多项式的求导公式（附录A3，式（14）），证明

并由此证明，在态下．

证明：利用

所以

利用本征函数的正交性归一性，可知

类似，利用本征函数的正交归一性，可得

所以

2.9　谐振子处于态下，计算．

解：按2.7题，在态下，所以

按2.8题，在态下，所以

因而

2.10　荷电a的谐振子，受到外电场的作用，，求能量本征值和本征函数．（提示：对V（x）进行配方，相当于谐振子势的平衡点不在x=0，而在点）。

【解答参见《量子力学习题精选与剖析》[上]，74页，3.7题】

3.7　电荷为q的自由谐振子，能量算符为

式（2）中势能项可以写成

其中

如作坐标平移，令

由于

H可以表示成

比较式（1）和（6），易见H和H₀的差别在于变量由x换成x’，并添加了常数项，由此可知

如所周知，自由振子的能级为

因此

如引入坐标平移算符

它对波函数的作用是

则H和H₀的本征函数可用平移算符联系起来：

反之，

解二：利用自由振子的升、降算符

将H₀及H表示成

引入

则

其中

比较式（14）、（16），H和H₀的差别在于，以及添加了常数项

在题3.1中，从基本对易式

出发，证明了能级公式（9）以及本征态之间的递推关系

并得出了基态波函数满足的方程

由于

所以用同样的逻辑推理也可得出H的本征值和本征函数的类似结论，只需在整个推导过程中用代替a，用代替的本征值显然就是式（10）．本征函数的递推关系及基态方程则是

等价于，因此将中x换成，即得

和可以通过算符联系起来：

2.11　设粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级，

解：Schrodinger方程为

此即Hermite多项式所满足的微分方程，但要求满足

要保证则必须（见《量子力学教程》，49页，（11）式），方程（1）的解为，为归一化常数），相应能量本征值为但根据x=0点的边界条件只能取奇数因此能量本征值只能取

即只包含《量子力学教程》2.4节中给出的谐振子解中的奇宇称解，对于奇宇称解，自动保证．

2.12　一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻（t=0）处于与分别为基态和第一激发态，求

（b）能量平均值；

（c）能量平方平均值；

（d）能量的涨落

（e）体系的特征时间计算

解：（a）按《量子力学教程》21页上的讨论（见21页，（34）式和（37）式）．可知

所以

（b）

（c）

（d）

（e）由可以求出周期τ

特征时间

所以

2.13　设粒子处于半壁无限高的势场中

求粒子能量本征值，以及至少存在一条束缚能级的条件．

【解答参见《量子力学》，卷1，94～97页，例1，有详细解答．】

*例1　半壁无限高的势垒（下图）

考虑一情况，分三个区域讨论：

①z＜0区域有

②0＜x＜a区域有

利用的边条件，可知所以

③x＞a区域，有

其中

考虑到处，要求为0的边界条件，只能取

然后根据x=a处的连续条件，可求出

[试与式（34）比较]，上式可改写成

所以ka处在第Ⅱ，Ⅳ象限中．上式还可改为

其中

用图解法可以近似求出方程（47）的根．下图是有5个根的情况，这5个根是y=的交点（交点在Ⅱ，Ⅳ象限中者）．

当，即无限深方势阱情况，直线变成y=0（横轴），它与的交点（在Ⅱ，Ⅳ象限中者）为

ka=nπ，n=1，2，3，…

与式（6）完全一致．

与对称势阱不同，半壁无限深势阱中的粒子，并不一定存在束缚态，而至少有一个束缚态存在的充要条件为：在ka=π／2处，y=ka／k#0a≤l，即

或

上式平方，利用式（48），得

这是对势阱的深度V₀及宽度a的限制．

2.14　求不对称势阱（见下图）中粒子的能量本征值．

解：（以下限于）讨论离散能级，即情况，这时，Schrodinger方程为

考虑到束缚态的边条件可表示为

由在x=0和a处的连续条件，得出

（1）式等价于

从（2）式中的两式消去得

当时，并不是任何条件下都有束缚态，由（3）式可知，仅当

时才有束缚态解．如能从（3）式求出k的可能取值则相应的能量本征值为

【此题的详细讨论和解答，可以参阅Landau & Lifashitz，Quantum Mechanics，Non—relativistic Theory，§22，pp65～66】

2.15　设谐振子初态为与基态相同的Gauss波包，但波包中心不在x=0点，而是在点，

（1）计算

（2）讨论波包中心的运动规律，与经典谐振子比较，考虑波包形状（波包宽度Ax）是否随时间改变?试与自由粒子的Gauss波包随时间的演化比较．

【此题的详细讨论和解答可以在《量子力学》，卷Ⅱ，128～131页中找到．】

答：设处于谐振子势中的粒子在初始时刻（t=0）状态为

即波形与基态波函数θ#0（X）相同，但波包中心不在谐振势的平衡点（X=0），而在X=X#0点．从经典力学观点来看，粒子将围绕平衡点振动．从量子力学来看，这个态就不可能是一个定态（处于定态的粒子，其空间分布概率密度不随时间改变）．事实上，它既不再是基态，也不是任何一个能量本征态，而是无限多个能量本征态按一定的权重的相干叠加，即

即的能量本征态．可以证明

更简单的计算方法是用代数方法，即用平移算符作用于基态波函数θ₀（x）而得出

利用谐振子的升降算符可以表示为

于是（无量纲）．利用代数恒等式

式中C=[A，B]，并假定[A，C]=[B，C]=0．按照，可得

所以

与式（3）一致。

按式（2）、（3）及，可得出t时刻的波函数

因此

与

相比，可见是一个围绕x=0点振荡的Gauss波包，波形不变（波包不扩散），波包中心位置在处．与经典振子（初位置在X=x#0处）的振动规律完全相同．所以相干态是一个最理想的准经典态．

2.16　对于一维粒子，证明：使坐标与动量不确定度之积取最小值的波包必为Gauss型波包。

【详细证明见，L．I．Schiff，Quantum Mechanics，（第3版）61～62页．】