§1　向量及其线性运算

1.1　向量的概念

既有大小、又有方向的量称为向量（或矢量）.向量用符号a,b，c，……表示.

一个向量a可以用一条有向线来表示，其中用这条线段长度|AB|表示a的大小，用起点A到终点B的指向表示a的方向（如图1.1）.

规定长度相等并且方向相同的有向线段表示同一个向量.例如，若表示向量a，则经过平行移动得到的有向线仍然表示向量a（如图1.2），记

我们今后把向量的大小也称为向量的长度.向量|a|的长度记作a.长度为零的向量称为零向量，记作0.零向量的方向不确定.

长度为1的向量称为单位向量.与a同向的单位向量记作a0.

与a长度相等并且方向相反的向量称为a的反向量，记作-a.例如，的反向量，因

1.2　向量的加法

我们知道，接连做两次位的效果是做了位（如图1.3）.由这个实际背景我们给出

定义1.1　对于向量a,b，作有向线段表示a，作有向线表示b，把表示的向量c称为a与b的和，记作c=a+b（如图1.4（a）），也就是

由这个公式表示的向量加法规则通常称为三角形法则.

注1　若另取一个起点A1，表示a，作表示b，则容易说表示同一个向量（如图1.4（b））.因此向量的加法与起点的选择无关.

注2　也可以从同一起点O作表示a，作表示b，再OA和OB为边作平行四边形OACB，则容易说明对角线也表示向量a与b的和c（如图1.5）.这称为向量加法的平行四边形法则.

向量的加法适合下述规律：

（1）结合律：（a+b）+c=a+（b+c），其中a,b，c是任意向量；

（2）交换律：a+b=b+a，其中a,b是任意向量；

（3）对任意向量a，有a+0=a；

（4）对任意向量a，有a+（-a）=0.

证明（1）作表示a，作表示b，作表示c（如图1.6），则

因此

（a+b）+c=a+（b+c）.

（2）作表示a，作表示b，以OA和OB为边作平行四边形OACB（如图1.5），则并从而

（3）作表示a，0可表示，于是

（4）作表示a，则

本书中用符号“A：=B”表示用B来规定A，读作“A定义成B”.向量的减法的定义为

定义1.2　a-b：=a+（-b）.

若a,b分别用同一起点的有向线表示（如图1.7），则

容易看出，对于任意向量a,b，都有

这个不等式称为三角形不等式，它是用向量的形式表示“三角形的一边不大于另两边的和”.证明留给读者，作为本节习题的第7题.

1.3　向量的数量乘法

定义1.3　实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，它的长度为

它的方向当λ＞0时与a相同，当λ＜0时与a相反.

对于任意向量a，由于，所以0a=0.同理，对一切实数λ，都有λ0=0.

设a≠0.因为|a|-1a与a同向，并且

所把一个非零向量a乘以它的长度的倒数，便得到

一个与它同向的单位向量a0.这称为把a单位化.

向量的数量乘法适合下述规律：对于任意向量a,b和任意实数λ，μ，有

（1）1a=a，（-1）a=-a；

（2）λ（μa）=（λμ）a；

（3）（λ+μ）a=λa+μa；（1.1）

（4）λ（a+b）=λa+λb.（1.2）

关于（1）和（2）可以用定义1.3直接验证.

（3）的证明　若a=0或者λ，μ中有一个为零，则等式（1.1）显然成立.下面设λ，μ都不等于零，并且a≠0.

情形1　若λ，μ同号，则λa与μa方向相同.因此有

又有

因而

并且当λ，μ同号时，显然λa+μa与（λ+μ）a同向，所以

（λ+μ）a=λa+μa.

情形2　若λ，μ异号，由于λ和μ的地位是对称的，因此不妨设λ＞0，μ＜0.又分以下三种情形：

①若λ+μ=0，则等式（1.1）的左边为0a=0，右边为

λa+（-λ）a=λa+（-1）（λa）=λa+（-λa）=0，因此（1.1）式成立.

②若λ+μ＞0，因为λ+μ＞0，-μ＞0，于是由情形1知

[（λ+μ）+（-μ）]a=（λ+μ）a+（-μ）a，

即得

λa=（λ+μ）a+（-μa），

从而有

（λ+μ）a=λa+μa.

③若λ+μ＜0，因为λ+μ与-λ同号，于是由情形1知

[（λ+μ）+（-λ）]a=（λ+μ）a+（-λ）a.

类似于②可得（1.1）式.

（4）的证明　若λ=0或者a,b中有一个为0，则（1.2）式显然成立.下面设λ≠0，a≠0，b≠0.

若经过平行移动a和b在一直线上，则存在实数μ，使得b=μa，于是

若经过平行移动a和b不在一直线上，那么当λ＞0时，作→—OA，→—AB分别表示a,b，于是→—OB表示a+b；作→—OC，→—CD分别表示λa，λb（如图1.8），则△OAB∽△OCD，从而D必在直线OB上，于是→—OD表示λ（a+b）.又→—OD表示λa+λb，所以有

λ（a+b）=λa+λb.

当λ＜0时，可以作类似讨论.

1.4　共线（共面）的向量组

向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算.

设a1，a2，……，an是一组向量，k1，k2，……，kn是一组实数，则是一个向量，称它是向量组a1，a2，……，an的一个线性组合，称k1，k2，……，kn是这个组合的系数.

定义1.4　向量组若用同一起点的有向线段表示后，它们在一条直线（一个平面）上，则称这个向量组是共线的（共面的）.

显然，0与任意向量共线；共线的向量组一定共面；两个向量一定共面；若a=λb（或者b=μa），则a与b共线.

命题1.1　若a与b共线，并且a≠0，则存在唯一的实数λ，使得b=λa.

证明　存在性　若a与b同向，则b0=a0，从而有

取λ=b a-1，即得b=λa.若a与b反向，可以类似讨论.

唯一性　假如b=λa=μa，则（λ-μ）a=0.因为a≠0，所以λ-μ=0，即λ=μ.

命题1.2　a与b共线的充分必要条件是，存在不全为零的实数λ，μ，使得

λa+μb=0.（1.3）

证明　必要性　设a与b共线，若a=b=0，则有1a+1b=0.

若a与b不全为0，不妨设a≠0，则存在实数λ，使得b=λa，从而有

λa+（-1）b=0.

充分性　若有不全为零的实数λ，μ，使得（1.3）式成立，不妨设λ≠0，则由（1.3）式因此a与b共线.

推论1.1　a与b不共线的充分必要条件是从（1.3）式成立可以推出λ=μ=0.

命题1.3　若c=λa+μb，则a,b，c共面.

证明　若a与b共线，则a,b，c共线，从而它们共面.若a与b不共线，则当λ＞0，μ＞0时，由图1.9知，a,b，c共面.对λ，μ的其他取值情况，可以类似讨论.

命题1.4　若a,b，c共面，并且a与b不共线，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得

c=λa+μb.

证明　存在性　如图1.10所示，从同一起点O作

过C作CD∥OB，且与直线OA交于D.因与a共线，所以存在实数λ，使得同理因此有

唯一性　假如c=λa+μb=λ1a+μ1b，则有

（λ-λ1）a+（μ-μ1）b=0.

因为a与b不共线，根据推论1.1即得

λ-λ1=0，μ-μ1=0，

于是λ=λ1，μ=μ1.

命题1.5　a,b，c共面的充分必要条件是，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得

k1a+k2b+k3c=0.（1.4）

证明　必要性　设a,b，c共面，若a与b不共线，则存在实数λ，μ，使得c=λa+μb，即

λa+μb+（-1）c=0；

若a与b共线，则存在不全为零的实数λ，μ，使得λa+μb=0，从而有

λa+μb+0c=0.

充分性　不妨设k1≠0，则由（1.4）式得

因此a,b，c共面.

推论1.2　a,b，c不共面的充分必要条件是从（1.4）式成立可以推出k1=k2=k3=0.

由于上述这些命题成立，使得向量的线性运算可以用来解决有关点的共线或共面问题、直线的共点问题以及线段的定比分割问题；并且这些命题是研究几何空间的线性结构的依据.

例1.1　试证：点M在线段AB上的充分必要件是，存在非负实数λ，μ，使得

其中O是任意取定的一点.

证明　必要性　设M在线段AB上，则同向，并且0所

任取一点O，由上式即

取λ=1-k，μ=k，则λ+μ=1，并且λ≥0，μ≥0.

充分性　若对某一点O，有非负实数λ，μ，使得

则

于共线，所以M在直线AB上.由于0≤μ≤1，所以M在线段AB上.

例1.2　试证：三点A,B，C共线的充分必要条件是，存在不全为零的实数λ，μ，ν，使得

其中O是任意取定的一点.

证明　必要性　若A,B，C共线，则共线.于是，存在不全为零的实数k,l，使得

任取一点O，由上式得

即

取λ=-（k+l），μ=k，ν=l，则得且　λ+μ+ν=0.

充分性　若对某一点O，存在不全为零的实数λ，μ，ν，使得且　λ+μ+ν=0，

则λ=-（μ+ν）.于是

即

也就=0.易说明μ，ν不全为零，从而共线，所以A,B，C共线.

习题　1.1

1.已知平行四边形ABCD的对角线为AC和BD，设

2.已知平行四边形ABCD的边BC和CD的中点分别为K和L，

3.证明：M是线段AB的中点的充分必要条件是，对任意一点O，有

4.设M是平行四边形ABCD的对角线交点，证明：对任意一点O，有

5.设AD,BE,CF是△ABC的三条中线，用并且求

6.设A,B，C,D是一个四面体的顶点，M,N分别是边AB,CD的中点，证

7.证明：对任意向量a,b，都有

这个不等式称为三角形不等式.等号成立的充分必要条件是什么？

8.证明：若向量a,b，c共面，则其中至少有一个向量可以表示成其余两个向量的线性组合.是否其中每一个向量都可以表示成其余两个向量的线性组合？

9.证明：点M在直线AB上的充分必要条件是，存在实数λ，μ，使得

其中O是任意取定的一点.

10.证明：四点A,B，C,D共面的充分必要条件是，存在不全为零的实数λ，μ，ν，ω，使得且　λ+μ+ν+ω=0，

其中O是任意取定的一点.

11.设A,B，C是不在一直线上的三点，证明：点M在A,B，C决定的平面上的充分必要条件是，存在实数λ，μ，ν，使得

其中O是任意取定的一点.

12.证明：点M在△ABC内（包括三条边）的充分必要条件是，存在非负实数λ，μ，使得

13.证明：点M在△ABC内（包括三边）的充分必要条件是，存在非负实数λ，μ，ν，使得

其中O是任意取定的一点.

14.用向量法证明：平行四边形的对角线互相平分.

15.用向量法证明：△ABC的三条中线相交于一点M，并且对任意一点O，有

16.用向量法证明：四面体ABCD的对棱中点连线交于一点M，并且对于任意一点O，有

17.在△ABC中，E,F分别是边AC,AB上的点，并设BE与CF交于G，证明：

*18.设A1，A2，……，An是正n边形的顶点，O是它的对称中心，证明：

*19.设一个区域G，如果连接它的任意两点的线段上的每一点都是G中的点，则称G是凸的.证明：由同一点出发的向量

x=k1a1+k2a2+……+kmam

的终点组成的区域是凸的，其中k1，k2，……，km都是非负实数，并且

k1+k2+……+km=1.